La nada problemática

Hola, bienvenido a la última entrada de Fundamentos de matemáticas de UNVIA. Es un gusto que estés leyendo este texto, porque significa que te encuentras a punto de terminar la asignatura homónima al blog. En la sesión de Funciones y límites se mencionaron las indeterminaciones matemáticas, pero no se adentró mucho en el tema. Como en lo personal lo considero muy interesante, decidí que este último escrito trate estas indeterminaciones matemáticas.

De forma general, una indeterminación matemática o absurdo matemático, es una expresión de la que no se puede obtener un valor exacto, no es lo mismo que una variable o una expresión algebraica, si a alguno de estos elementos le asignamos un valor definido, obtendremos un resultado concreto. En cambio con las indeterminaciones matemáticas, no es posible asegurar un resultado como por ejemplo x² es igual a 4 si x es igual a 2.

Cero elevado a la cero (0⁰)

Esta indeterminación viene de la regla matemática que nos dice que x⁰=1, es decir, cualquier elemento matemático elevado a la 0 es igual a 0. No obstante, hay que recordar que si elevamos 0 a cualquier potencia, siempre obtendremos 0 (como por ejemplo 0⁵=0, 0^-7=0, 0¹⁰=0, etc.), entonces, ¿Qué pasa cuando se eleva 0 a la 0? Ese es el problema, no podemos determinar si el resultado es 0 o es 1.

Cero entre cero (0/0)

El cero es un poco problemático cuando es exponente o parte de un número racional, como en la famosa división entre cero. En realidad, no hay un gran misterio de porque no podemos determinar esta división, si tenemos por ejemplo la expresión 0/0=4 , si despejamos 0, enviaríamos el 0 divisor a multiplicar a 4, lo cual resultaría en 0 y tendríamos que 0=0, lo cual es sumamente cierto, no obstante, lo mismo sucede si igualamos la división a 5, a 6, a 7 y así sucesivamente para todos los valores, por lo tanto no podemos determinar una solución definitiva.

Infinito elevado a la cero (∞⁰)

En esta indeterminación se presenta un caso similar, pues si elevamos infinito a cualquier potencia obtendremos infinito (ejemplos: ∞⁵=∞, ∞⁷=∞, ∞¹⁰=∞).
El problema recae entonces en contradicción con la regla de que cualquier elemento elevado a la potencia 0 es 0, porque se supone que infinito elevado a cualquier potencia es infinito, ¿incluido cero? Como veras, estas reglas se contradicen y por lo tanto no podemos definir un resultado concreto.

Infinito elevado a la cero (∞⁰)

En esta indeterminación se presenta un caso similar, pues si elevamos infinito a cualquier potencia obtendremos infinito (ejemplos: ∞⁵=∞,∞⁷=∞,∞¹⁰=∞).
El problema recae entonces en contradicción con la regla de que cualquier elemento elevado a la potencia 0 es 0, porque se supone que infinito elevado a cualquier potencia es infinito, ¿incluido cero? Como veras, estas reglas se contradicen y por lo tanto no podemos definir un resultado concreto.

Cero por infinito ((0)(∞))

De nuevo, dos reglas que se contradicen. Sabemos que cualquier elemento multiplicado por cero dará cero ((x)(0)=0), cualquier elemento multiplicado por infinito nos dará infinito ((x)(∞)). Entonces, cuando se multiplicando estos valores no podemos afirmar que se obtendrá cero, como tampoco se puede afirmar que se obtendrá infinito.

Uno elevado al infinito (1^∞)

Otra contradicción, si se sabe que elevar uno a cualquier valor siempre resultara en uno (1ⁿ=1) entonces, ¿Qué pasa cuando lo elevamos a todos los posibles valores numéricos?  Elevar un elemento cualquiera al infinito, obtenemos infinito, pero, ¿Incluye también el 1? No lo sabemos, por lo tanto es una indeterminación matemática.

Existen dos indeterminaciones matemáticas más, no obstante, te dejare la tarea de investigarlas para que las conozcas. Terminare esta entrada deseándote mucha suerte en el resto de tu experiencia aquí en UNIVIA, esperando que te superes con cada tema que aprendas.

El límite de las cosas

Hola, bienvenido a una de las últimas entradas del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. Esta ocasión es diferente al resto, pues la información no se mostrara en un escrito como habitualmente sucede, sino que será mostrada en un video. Doy agradecimiento al usuario de YouTube ArGxMAXI, autor y productor del video, demostrando que tanto la plataforma de videos en línea y el software de Loqueando sirven para algo más que el ocio.

Si quieres saber más acerca de los límites y sus propiedades, te invito a que tomes la segunda sesión de la unidad VIII  de Fundamentos de matemáticas, en UNIVIA.

Fundadores del cálculo, parte I

 

Hola, bienvenido a una entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. No podemos hablar del cálculo, sin poder hablar de uno de sus fundadores, me refiero a Gottfried Wilhelm Leibniz. Esta entrada esta dedicada a su memoria en forma de una biografía, rescatada de: http://goo.gl/pv5U2

(Gottfried Wilhelm von Leibniz; Leipzig, actual Alemania, 1646 – Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.

En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.

Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intrínseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas. Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.

Frente a la física cartesiana de la extensión, Leibniz defendió una física de la energía, ya que ésta es la que hace posible el movimiento. Los elementos últimos que componen la realidad son las mónadas, puntos inextensos de naturaleza espiritual, con capacidad de percepción y actividad, que, aun siendo simples, poseen múltiples atributos; cada una de ellas recibe su principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el acto de la creación estableció una armonía entre todas las mónadas. Esta armonía prestablecida se manifiesta en la relación causal entre fenómenos, así como en la concordancia entre el pensamiento racional y las leyes que rigen la naturaleza.

Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.

Más incógnitas

Hola, bienvenido a una entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. La bienvenida de hoy será breve, pues el tema a tratar es extenso, así que te diré que hablaremos de los sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.

Una ecuación de la forma ax+by+cz=d, donde a,b,c y d son números reales, con a,b y c no todos nulos(diferentes de cero), es una ecuación lineal con tres variables (x,y,z). De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x,y), se puede resolver un sistema de tres ecuaciones lineales. En este caso, te sugiero estos pasos para resolver sistemas de este tipo.

1. Primero eliminar una de las incógnitas tomando dos de las tres ecuaciones, te recomiendo utilizar el método de reducción que se aplicaría en sistema de dos variables.
2. Con la ecuación que sobro, es decir la que no se involucró en el paso anterior, toma cualquiera de las otras dos ecuaciones y elimina la misma variable de la tercera ecuación. Después de este paso, debes de tener un sistema de ecuaciones de dos por dos.
3. El subsistema de ecuaciones lineales resultante del paso anterior puede ser resuelto por cualquiera de los métodos que estudiamos anteriormente, es decir por igualación, reducción o sustitución. De esta forma, tendrás el valor de dos de las tres incógnitas involucradas en el sistema.
4. Una vez que se tienen los valores de dos de las variables, puedes sustituirlos en cualquier ecuación y calcular el tercero, obteniendo así la solución.

A continuación, un breve ejemplo del método propuesto. El sistema a resolver es:

6x-4y-5z=12

4x-2y-3z=8

5x+3y-4z=4

Paso 1

(-3)(6x-4y-5z=12)
(5)(4x-2y-3z=8)
-18x+12y+15z=-36
20x-10y-15z=40
2x+2y=4

Paso 2

(4)(4x-2y-3z=8)
(-3)(5x+3y-4z=4)
16x-8y-12z=32
-15x-9y+12z=-12
x-17y=20

Paso 3

2x+2y=4
x-17y=20
2x+2y=4
(-2)(x-17y=20)
2x+2y=4
-2x+34y=-40
36y=-36
y=-36/36
y=-1

x-17(-1)=20
x+17=20
x=20-17
x=3

Paso 4

6(3)-4(-1)-5z=12
18+4-5z=12
22-5z=12
-5z=12-22
-5z=-10
z=-10/-5
z=2

Las otras gráficas

Hola, bienvenido a otra entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. A la sesión que le corresponde este escrito es la de Graficación de ecuaciones, la cual se discutirá precisamente en la sesión. No obstante, no hemos discutido en ninguna parte del curso ningún tipo de gráfica, por ende, estas líneas discuten las otras gráficas, las supuestamente más básicas pero no por ello las menos útiles, al contrario.

Una gráfica lineal se utiliza para representar series de datos que han sido recolectados en un tiempo específico. Los datos se representan en una gráfica de intervalos de tiempo y se dibuja una línea conectando los puntos resultantes. Es útil al mostrar tendencias de comportamiento de un evento o proceso (como incrementos, decrementos o tendencias sin variación). Permite visualizar cambios que sufren los procesos en un período de tiempo o comparar el desempeño obtenido después de implementar una solución. Una gráfica lineal se ve de la siguiente manera:

El histograma es un tipo especial de gráfico de barras que se puede utilizar para comunicar información sobre las variaciones de un proceso y/o tomar decisiones enfocándose en los esfuerzos de mejora que se han realizado. El histograma permite reconocer y analizar patrones de comportamiento en la información que no son aparentes a primera vista al calcular un porcentaje o media. Un histograma tiene la siguiente apariencia:

Un gráfico de barras es aquella representación gráfica bidimensional en que los objetos gráficos elementales son un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente de manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud que se quiere representar. Una gráfica de barras se ve de la siguiente forma:

 

La gráfica de pastel o circular expresa de manera gráfica la distribución proporcional de los eventos o datos en estudio; sin embargo, éstos no deben  ser  más  de  7  porque  el  análisis  se  vuelve excesivamente complejo, por lo que si se rebasa esta cantidad de categorías es preferible graficar a través de un Histograma. Permite medir y analizar los datos para apoyar la toma de decisiones. Una gráfica circular se ve como la siguiente:

La regla de Cramer

Hola, bienvenido a una entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. En esta ocasión, estudiaremos un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Me imagino que te estarás preguntando qué es un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas, por lo que iniciaremos esta lectura con una breve definición.

Un sistema de ecuaciones lineales es aquel donde dos o más ecuaciones de primer grado se relacionan entre sí, cuyas variables tienen el mismo valor en todas las ecuaciones. En esta asignatura y por consecuencia en este escrito, se manejan sistemas de ecuaciones de 2 por 2, es decir, dos variables en dos ecuaciones. Para resolver estos sistemas se utilizan diversos métodos, pero en esta ocasión se utilizara la regla de Cramer.

Considerando el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

a₁x+b₁y=c₁
a₂x+b₂y=c₂

La regla de Cramer indica que las variables del sistema, llamadas generalmente x y y, se pueden calcular de la siguiente manera:

Aclarando que, a₁ y a₂, son los valores de equis, b₁ y b₂ son los valores de y y los valores de c₁ y c₂ corresponden a los resultados. Entonces, si tenemos el sistema de ecuaciones 3x-y=30, 4x+3y=1, encontremos su solución por la regla de Cramer.

El denominador de las fracciones notaras que es el mismo, esto se debe a que es el determinante del sistema. El numerador de la fracción del despeje de x es conocido como determinante de equis o Dx, por el contrario el numerador del despeje de y es conocido como determinante de y o Dy.

Pero, ¿qué es un determinante? Si quieres saber que es un determinante o saber más acerca de los sistemas de ecuaciones, toma la sesión tres de la séptima unidad de Fundamentos de matemáticas en UNIVIA.

Las ecuaciones al cuadrado

 

Hola, bienvenido a una entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. En esta ocasión, vamos a discutir una introducción a las ecuaciones cuadráticas. Para iniciar, vamos a definir que es una ecuación cuadrática y como resolverla por este método. Esta información ha sido rescatada de http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html , y doy crédito a sus autoras Melissa Murrias and Dra. Luz M. Rivera.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales. En este tipo de ecuaciones existen dos soluciones, al contrario de las ecuaciones lineales que estudiamos anteriormente, además de que una de sus variables tiene exponente dos.

Ejemplo:

9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x²  – 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x² + 10              a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax²+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Para ello, se debe dividir toda la ecuación entre a para tener la forma , después se continua factorizando hasta llegar a las dos raíces.

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Si quieres saber más de las ecuaciones de segundo grado, te invito a que tomes la segunda sesión de la séptima unidad de Fundamentos de matemáticas en UNIVI.

Nadie ni nada es insustituible

Hola, bienvenido a una entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. En este escrito, vamos a discutir un tema que es sumamente importante para poder comprobar las ecuaciones, o mejor dicho, para poder entenderlas.

En la unidad seis se discutieron los temas más importantes del Álgebra, sabemos entonces que existen expresiones algebraicas en las cuales se mezclan letras y números. Las letras pueden tomar valores arbitrarios para cumplir igualdades o determinar cierto valor, y en conjunto con los números se involucran en las operaciones aritméticas básicas.

Cuando se le da un valor a la parte literal de las expresiones algebraicas, es decir las letras que se encuentran junto con los números, se dice que estos valores se sustituyen o se asignan a la variable (un valor dentro de una formula o expresión que puede cambiar cada vez que se resuelva dicho elemento) y a partir de estos se calcula una solución real de la expresión.

Por ejemplo, si tenemos la expresión 7a+3b-c  y tenemos que a=3, b=2 y c=-3, entonces el resultado real de esta expresión es 24. ¿Por qué?

Recordaras que en una expresión algebraica, siendo más específico un monomio, todos los símbolos participantes tienen un significado. Los números enteros o racionales son llamados coeficientes numéricos, si se encuentran junto a una literal, que vendría siendo una de las variables o letras que representan otra magnitud, entonces significa que se está multiplicando ese valor por el valor absoluto del coeficiente. Teniendo en cuenta estas bases, podemos deducir que la expresión se resolvió de la siguiente forma:

7(3)+3(2)+ (-3)

21+6-3

24

Como vemos, a fue sustituido por 3, b fue sustituido por 2 y c fue sustituido por -3. Resolviendo, 7 por 3 nos da 21, 3 por 2 nos da 6, si los sumamos tenemos 27, al sumarle -3 el resultado final es 24.

Ahora, vamos a ver cómo se pueden sustituir valores para demostrar una igualdad. Primero, una igualdad es la relación equitativa entre dos valores, sean números reales o expresiones algebraicas, como es el caso de las ecuaciones.

Teniendo la igualdad 3x+4 = 4x+2, vamos a comprobar que el valor de x debe ser dos para que la igualdad se cumpla. Para ello tenemos:

3(2)+4 = 4(2)+2

6+4=8+2

10=10

Como en ambos lados del signo igual tenemos a diez, esta igualdad es verdadera y coherente cuando x tiene un valor de 2, pues si sustituimos este valor y realizamos las operaciones correspondientes, tendremos el mismo valor en ambos lados del signo igual.

Si quieres saber más acerca de las ecuaciones y de la sustitución de valores, te invito a que tomes la sesión uno de la séptima unidad de Fundamentos de Matemáticas en UNIVIA.

Recordando las fracciones

Hola, bienvenido a una entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. En esta ocasión vamos a recordar cómo se hacen las operaciones aritméticas básicas con números racionales, siendo éstas la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Suma de fracciones

Para sumar dos fracciones, hay que considerar primero si tienen el mismo denominador (fracciones homogéneas) o si son diferentes (fracciones heterogéneas). En el caso de que sea el mismo denominador, entonces simplemente hay que sumar los numeradores. Mira el siguiente ejemplo.

Cuando se van a sumar fracciones heterogéneas, hay distintos métodos para resolverlo, yo solo sugeriré uno, te invito a que investigues otro.

 

 

 

Como vez, podemos multiplicar los denominadores por los numeradores, la multiplicación y suma de éstos, servirá como el numerador de la fracción resultante, mientras que el denominador se determina multiplicando los denominadores. Este mismo procedimiento puede ser aplicado para la resta de fracciones.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones es la operación más sencilla con números racionales, simplemente hay que multiplicar los numeradores por los numeradores y los denominadores por denominadores.

 

División de fracciones

 

La división de fracciones también consiste en una serie de multiplicaciones, se podría decir que cruzado, es decir, el numerador del dividiendo por el denominador del divisor, así como se debe multiplicar el denominador del dividiendo por el numerador del divisor.

 

¿Por qué? ¿Cuál es la razón de ser de esta entrada? La sesión correspondiente a esta entrada es Fracciones algebraicas, donde realmente necesitaras saber cómo se realizan estas operaciones.

 

Hablando de exponentes

Hola, bienvenido a una entrada más del blog de Fundamentos de matemáticas de UNIVIA. A la sesión que le corresponde esta entrada, es decir “Las leyes de los exponentes en el Álgebra”, se aplicaran y explicaran las leyes de los exponentes que quedaron pendientes de aquella entrada titulada “Leyes hasta en los exponentes”. Por lo tanto, en esta ocasión discutiremos un tema que, si bien tiene que ver con los exponentes, no influye directamente en la sesión. Comencemos.

Vamos a analizar los desarrollos binomiales siguientes.

 

Si acomodamos los coeficientes de los desarrollos en un triángulo, notaremos que existe un patrón dentro de estos.

1

1                     1

1                     2                     1

1                     3          3                     1

1                     4          6          4                     1

1                     5          10                   10       5                     1

En el triángulo anterior, cada número interior es la suma de los que están colocados encima de él (por ejemplo, los 5 de la base son suma de 4+1 del nivel anterior). Esta forma de organizar los números se conoce como triángulo de pascal. Utilizar el triángulo de pascal no es un método muy efectivo cuando el exponente del binomio es muy grande, existe otro método que permite conocer todos los coeficientes, el cual se conoce como teorema del binomio.

Antes de discutir dicho teorema, primero es necesario explicar que es un factorial. Para un número natural, la operación n factorial, representada n!, se define como el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo:

 

2!= 2×1=2

4!=4x3x2x1

n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…

Teniendo esto, podemos aplicar la fórmula para coeficientes binomiales. Siendo r y n números enteros no negativos, donde r es mayor o igual que cero y menor e igual a n, el coeficiente binomial de la forma se define por la expresión:

 

Ejemplificando, tenemos:

 

Sabiendo esto, podemos aplicarlo en el teorema del binomio.

 

Simplificando este teorema, podemos conocer el r-ésimo término de un desarrollo binomial, con la siguiente expresión:

 

Determinación del cuarto término del desarrollo de (3ª-2b)⁴

n=4
r=4
r-1=3
n-(r-1)=1

 

De esta forma, podrás desarrollar binomios sin importar el exponente que tengas. Si quieres aprender más acerca de los exponentes y del Álgebra, toma las sesiones de Fundamentos de matemáticas en UNIVIA.